部分：电场强度的计算

电场强度 E 是描述电场强弱和方向的物理量，其定义是单位正电荷在电场中某点所受到的力。计算公式为：

E = F / q

• E: 电场强度 (单位：牛顿/库仑, N/C 或 伏特/米, V/m)

• F: 试探电荷在电场中某点受到的静电力 (单位：牛顿, N)

• q: 试探电荷的电量 (单位：库仑, C)

这只是定义式。在实际计算中，我们根据场源电荷的分布有不同的具体计算方法。

1. 点电荷的电场强度

这是基本的情况。真空中，一个点电荷 Q 在距离其为 *r* 的位置产生的电场强度大小为：

E = (1 / (4πε?)) * (|Q| / r2) = k * (|Q| / r2)

• k: 静电力常量，k ≈ 9.0 × 10? N·m2/C2

• ε?: 真空介电常数

• 方向：如果 Q 是正电荷，E 的方向沿径向向外；如果 Q 是负电荷，E 的方向沿径向向内。

2. 多个点电荷的电场强度（ superposition principle）

电场满足叠加原理。空间中某点的总电场强度等于各个点电荷在该点独立产生的电场强度的矢量之和。

E_total = E? + E? + E? + ...

计算时需要将每个场强分解到坐标轴上，分别求和后再合成。

3. 连续分布电荷的电场强度

对于不能看作点电荷的带电体（如带电直线、圆环、球面、平面等），将其视为无数个点电荷 dq 的集合。每个 dq 产生的场强为 dE，总场强则为积分：

E = ∫ dE = (1 / (4πε?)) * ∫ (dq / r2) * r?

计算的关键在于根据电荷分布的几何形状选择合适的电荷元 dq 和积分变量。

• 无限大均匀带电平面：其附近的电场是匀强电场，大小为 E = σ / (2ε?)，其中 σ 是电荷面密度。方向垂直于平面。

• 无限长均匀带电直导线：距离导线为 *r* 处的场强大小为 E = λ / (2πε?r)，其中 λ 是电荷线密度。方向垂直于导线径向向外。

• 均匀带电球壳/球体：

  • 球外某点 (r > R)：等效于所有电荷集中在球心产生的电场。E = (1 / (4πε?)) * (Q / r2)

  • 球内某点 (r < R)：

    • 对于球壳：内部场强 E = 0。

    • 对于实心球体：E = (1 / (4πε?)) * (Q * r / R3)，其中 R 是球体半径。

第二部分：电场强度与电势的关系

电势 V 是描述电场能的性质的物理量，表示单位正电荷在电场中某点所具有的电势能。电场强度 E 和电势 V 从不同角度描述了同一个电场，它们之间存在着深刻的微分和积分关系。

1. 积分关系：由 E 求 V

一点的电势等于电场强度从该点到零电势参考点的路径积分（即电场力将单位正电荷移到参考点所做的功）。

V? = ∫?^{ref} E · dl

通常，对于有限大小的带电体，我们选择无穷远处的电势为零。

• 物理意义：电势是电场强度在空间上的累积。

• 推论：沿着电场线的方向，电势逐渐降低。这是判断电势高低的重要方法。

2. 微分关系：由 V 求 E（重点）

这是两者更常用、更直接的关系。电场强度 E 等于电势 V 的负梯度。

E = -?V

在直角坐标系中，梯度算符 ? = (?/?x, ?/?y, ?/?z)，因此上式可分解为三个分量：

E? = -?V / ?x
E? = -?V / ?y
E_z = -?V / ?z

• 物理意义：

  1. 负号 (-)：表示电场强度 E 的方向指向电势降低快的方向。

  2. 导数/偏导数：表示电场强度 E 的大小反映了电势在空间中的变化率。电势变化越剧烈（等势面越密集）的地方，电场强度越大。

3. 一个更直观的理解：电势差与场强

对于匀强电场这种简单的情况，关系变得非常直观：

E = -ΔV / d

• E: 电场强度大小

• ΔV: 两点间的电势差（电压）

• d: 两点沿电场方向的距离

• 结论：在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上的电势差。单位 V/m 和 N/C 是等价的。

总结对比

简单来说：

• 电场强度 E 是“电势坡度”的度量。坡度越陡（等势线越密），E 越大。

• 电势 V 是“海拔高度”，而 电场强度 E 的方向是“下坡方向”，大小是“坡度”。